\chapter{绪 \quad 论}\label{chap:1}
\section{研究背景与意义}
分数阶微分方程作为整数阶微分方程的扩展，是描述具有历史记忆和遗传特性的材料的合适方法. 因此，它们在许多领域比整数阶微分模型具有优势，其中更热门的是非线性分数阶偏微分方程. 分数阶偏微分方程已广泛应用于许多工程和科学学科，如电化学\cite{1-1}、光学\cite{1-2}、等离子体\cite{1-3}、生物学模型\cite{1-4}、自动化控制系统\cite{1-5}、流体\cite{1-6}和量子力学\cite{1-7}等等. 在所有这些科学领域中，寻找由系统产生的问题的精确或数值解决方案是至关重要的. 然而，分数阶偏微分方程的精确解通常难以获得，且多数解需满足特定条件，这成为其应用中的主要限制因素. 通过研究分数阶偏微分方程，可以不断发展新的数学方法，构建更精确的数学模型，并找到更符合问题的方程来描述各种复杂的非线性现象. 这种跨学科研究可以促进不同学科之间的知识流动和合作，推动科学的综合发展. 因此，深入研究分数阶偏微分方程的性质以及其与整数阶模型的差异，能为高效研究非线性模型提供新的可能性.

本文所要研究的方程在流体动力学领域中有重要价值，不仅有助于我们深入理解非线性系统中的波动现象，还有望在许多领域中找到重要的应用. 因此，本文的主要目标为从这些模型出发，通过适当的方法解析研究流体力学领域中的分数阶非线性模型的呼吸子、lump~波和孤子等非线性波，并以此探究一些非线性现象的本质，并为相关领域的实际应用提供一定的理论支持.
\section{分数阶微积分的研究现状}
分数阶微积分是微积分的重要分支，其价值逐渐受到学界重视. 自然界及诸多科学技术领域中广泛存在分数维度空间结构，在动力学建模中，分数阶微积分方法能够刻画实际问题的长期影响特性，让模型更精准地反映事物内在变化规律，其应用潜力正逐步凸显.
分数阶微积分的概念最早源于~1695~年~L'Hospital~与~Leibniz~的通信\cite{b-1-1}. 相较于整数阶微积分，分数阶微积分的发展还不够完善，至今仍未形成统一的定义体系，这也给实际应用带来了诸多不便.
早在18~世纪~Cauchy~就提出了一种分数阶导数的定义
\begin{equation}
D_t^{\alpha} f(t) = \frac{\Gamma(\alpha + 1)}{2 \pi i} \oint \frac{f(x)}{(x-t)^{\alpha + 1}} d x, \alpha \in R
\label{cauchy}
\end{equation}
此后~Riemann~与~Liouville~对该定义进行推广\cite{b-1-2}，形成~Riemann-Liouville~型分数阶导数
\begin{equation}
D_t^{\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(n - \alpha)} \frac{d^n}{d t^n} \int_a^t (t-x)^{n- \alpha -1} f(x) dx, \alpha > 0
\label{riemannl}
\end{equation}
20~世纪~60~年代，Caputo~对前述定义进行改进，得到~Caputo~型分数阶导数\cite{b-1-3}
\begin{equation}
D_t^{\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(n - \alpha)} \int_a^t (t-x)^{n- \alpha -1} \frac{d^n}{d t^n} f(x) dx, \alpha > 0
\label{caputo}
\end{equation}
两类定义仅在积分与求导顺序上存在差异. Riemann-Liouville~型导数有很强的奇异性，Caputo~型导数则弱化了这一特性，且二者对被积函数的条件限制也各不相同. 此外，还有~Gr\"{u}nwald-Letnikov~型分数阶等定义也各具特点.

分数阶微积分大多缺乏整数阶微积分那样简洁的链式法则和莱布尼茨公式，除幂函数外，其他初等函数均难以推导得出简洁的导数公式，运算难度极大，这也导致其应用长期受到限制，促使研究者们探索出更便于运算的分数阶微积分的新定义.

\section{本文的主要内容和创新点}
本文的主要内容所涉及的计算推导、程序编写和图像分析都是在导师指导下由本人独立完成的. 本文的主要内容如下：

第一章是绪论，简述了本文所要研究的三种不同的分数阶各自的适用领域与研究现状，以及呼吸子、lump~波和孤子三种非线性波的研究背景与发展情况，并介绍了本文主要采用的基本研究方法：KP~方程族约化方法和~Hirota~方法；

第二章研究了适形分数阶修正的~(3+1)~维势~YTSF~方程. 使用分数阶复变换将其约化为整数阶~YTSF~方程，得到了方程的呼吸子解和~lump~解以及交互解，并结合图像分析了非线性波的性质和分数阶的影响；

第三章研究了分形分数阶修正的~(3+1)~维广义浅水波方程. 使用分形复变换将其转化为整数阶广义浅水波方程，得到了方程的呼吸子解和~lump~解以及交互解，并根据图像描述了分数阶的影响，以及非线性波的传播情况和交互作用；

第四章研究了截断~M~导数修正的时间分数阶~(3+1)~维KdV-ZK方程. 使用适当的行波变换将其转化为整数阶~(3+1)~维~KdV-ZK~方程，得到了方程的1-, 2-, 3-孤子解和呼吸子解，并结合图像分析了分数阶的影响和非线性波的性质；

第五章是总结和展望. 总结本文求得的几类分数阶非线性偏微分方程的非线性波解，并展望未来拟继续研究的方向.

\textbf{本文的创新点}：

(1)~构建了贴合实际物理模型的分数阶方程体系. 相比传统整数阶模型，能够更好刻画具有记忆性与非光滑特性的非线性波动现象；

(2)~建立了一套高效求解高维分数阶方程的解析方案. 该方法通用性较强，可为同类分数阶模型的求解提供可借鉴的技术路径；

(3)~丰富了分数阶模型的解析解结构. 通过图像分析明确了分数阶参数对波形、传播速度及相互作用的调控规律，揭示了非线性波的弹性碰撞特性.
