\chapter{适形分数阶修正的~(3+1)~维~YTSF~方程的呼吸子和~lump~解}\label{chap:2}
本章研究了适形分数阶导数修正的~(3+1)~维~YTSF~方程，给出了方程的具有不同的物理意义的不同形式下的解，有助于我们更好的了解非线性现象的动力学意义.

Bogoyavlenskii-Schiff(BS)~方程被广泛用于研究区域内的孤子和非线性波，包括流体力学中弱色散介质的复杂非线性问题. 此外，BS~方程与流体力学中许多经典方程有着深层联系.
\begin{eqnarray}
-4\upsilon_t + \Phi{\upsilon}\upsilon_z = 0, \Phi = \partial^2 + 4\upsilon +2\upsilon_x \partial^{-1}.
\label{eq:eq810}
\end{eqnarray}

若令~$z = x$，式~(\ref{eq:eq810})~即为势~KP~方程. 若令~$\upsilon_y = 0$，式~(\ref{eq:eq810})~即为势~KdV~方程. Yu、Toda、Sasa~和~Fukuyama在对~BS~方程的研究中提出了下列方程\footnote{公式推导过程详见附录A。}
\begin{eqnarray}
[-4\upsilon_t + \Phi{\upsilon}\upsilon_z]_x + 3\upsilon_{yy} = 0, \Phi = \partial^2 + 4\upsilon +2\upsilon_x \partial^{-1}.
\label{eq:eq975}
\end{eqnarray}

作为~KP~方程和~BS~方程的延伸，YTSF~方程常用于描述浅水方程中出现的混合反应，或者用于研究非线性动力学中的孤子与波方程或弱色散介质方程.
\section{适形分数阶}\label{sec2-1}
适形分数阶导数定义的性质非常接近整数阶导数的性质，因此链式法则和莱布尼茨公式均成立，极大地简化了运算.
\\
\textbf{定义2.1：}
设函数~$g:(0,\infty)\rightarrow R$. 当~$t > 0$~并且~$0 < \alpha \leq 1$~时，适形分数导数定义如下：
\begin{eqnarray}
D^\alpha_{t} x(t) = \lim_{{\displaystyle \varepsilon \to 0}} \frac{x(t+\varepsilon t^{1-\alpha})-x(t)}{\varepsilon},
\label{s2-0}
\end{eqnarray}

\begin{center}
\includegraphics[width=2.8in]{tu/Fig1.eps}\quad
\includegraphics[width=2.8in]{tu/Fig2.eps}\\
{$(a_1):t = -16$}\hspace{2.2in}
{$(a_2):t = 0$}
\\
\includegraphics[width=2.8in]{tu/Fig3.eps}\quad
\includegraphics[width=2.8in]{tu/Fig4.eps}\\
{$(a_3):t = 8$}\hspace{2.2in}
{$(a_4):t = 16$}
\\
\vspace{1em}
{\zihao{5} 图~\ref{1fig1} $x-y$~平面上的一阶呼吸子和~lump~波的交互解，其中~$\varsigma^0_2 = 0$, $\theta = \frac{1}{2}$, $\varpi = -\frac{1}{2}$, $\Omega_1 = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$, $\Omega_2 = 1/10 - i$, $\beta = 1$, $z = 0$.}

\vspace{0.5em}
{\zihao{5} Fig~\ref{1fig1} The first-order breather on the results of a first-order breather and one lump within $x-y$ plane with $\varsigma^0_2 = 0$, $\theta = \frac{1}{2}$, $\varpi = -\frac{1}{2}$, $\Omega_1 = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$, $\Omega_2 = 1/10 - i$, $\beta = 1$ and $z = 0$.}
\label{1fig1}
\end{center}

\textbf{图~\ref{1fig1}}~给出了整数阶情况下的交互解，可以观测到整数阶呼吸子和~lump~波，其中$\tau$从~-3~取到~8. 并且呼吸子和~lump~波在接触前后的形状都没有改变.

\begin{table}[htbp]
\centering
\caption{表1-1  不同条件下材料的力学性能对比}
\zihao{5}{Table 1-1 Comparison of mechanical properties of materials under different conditions}
\begin{tabular}{cccccc}
\toprule[0.75pt]
条件编号 & 温度 (K) & 压力 (MPa) & 弹性模量 (GPa) & 屈服强度 (MPa) \\
\midrule[0.5pt]
1 & 298 & 0.1 & 210 & 355 \\
2 & 298 & 0.5 & 212 & 360 \\
3 & 300 & 0.1 & 208 & 350 \\
4 & 300 & 0.5 & 211 & 358 \\
5 & 350 & 0.1 & 195 & 320 \\
\bottomrule[0.75pt]
\end{tabular}
\label{1tab1}
\end{table}

\textbf{表~\ref{1tab1}}~给出了不同条件下材料的力学性能对比.